برآورد

برآورد

روش‌های آمار استنباطی به منظور برآورد پارامترهای جامعه (میانگین جامعه) از طریق نمونه گیری علمی ‌از جامعه مورد نظر بکار می‌رود. برای مثال اگر از جامعه‌ای نمونه انتخاب ‌کنیم و میانگین این نمونه را به منظور برآورد میانگین جامعه محاسبه ‌کنیم، در واقع یک برآورد یا پیش بینی در باره میانگین جامعه از طریق نمونه انتخابی انجام داده‌ایم. آمار برآوردی دارای ارزش است که بدون سوگیری (Unbiased) ، با ثبات (Consistent) ، کارا (Efficient) و مکفی (Sufficent) باشد.

آزمون فرض

فرضیه آماری نقطه آغاز آزمون فرض است. فرضیه آماری یک بیان مقداری در باره پارامترهای جامعه است و اصولا بدون داشتن فرضیه آماری امکان انجام یک آزمون دشوار است. فرضیه آماری به دو دسته فرض صفر (H₀) و فرض خلاف (H_A) بیان می‌شود.
آزمون‌های آمار استنباطی
آزمون‌های آماری مورد استفاده جهت تجزیه و تحلیل اطلاعات بدست آمده از یک گروه کوچک (نمونه) و تعمیم آن به جامعه مورد نظر با توجه به مقیاس اندازه گیری متغیرها به دو گروه پارامتری و ناپارامتری تقسیم می‌شوند. آزمون‌های پارامتری به تجزیه و تحلیل اطلاعات در سطح مقیاس فاصله‌ای و نسبی می‌پردازند که حداقل شاخص آماری آنها میانگین (Mean) و واریانس (Variance) است. در حالیکه آزمون‌های نا پارامتری به تجزیه و تحلیل اطلاعات در سطح مقیاس اسمی ‌و رتبه‌ای می‌پردازند که شاخص آماری آنها میانه (Median) و نما (Mode) است.

آزمون‌های پارامتری آمار استنباطی

آزمون t

آزمون t ، توزیع یا در حقیقت خانواده‌ای از توزیعها است که با استفاده از آنها فرضیه‌هایی را در باره نمونه در شرایط جامعه ناشناخته است، آزمون می‌کنیم. اهمیت این آزمون (توزیع) در آن است که پژوهشگر را قادر می‌سازد با نمونه‌های کوچکتر (حداقل 2 نفر) اطلاعاتی در باره جامعه بدست آورد. آزمون t شامل خانواده‌ای از توزیعها است (برخلاف آزمون z) و اینگونه فرض می‌کند، که هر نمونه‌ای دارای توزیع مخصوص به خود است، که شکل این توزیع از طریق محاسبه درجات آزادی (Degrees of Freedom) مشخص می‌شود. به عبارت دیگر توزیع t تابع درجات آزادی است و هر چه درجات آزادی (d.F) افزایش پیدا کند به توزیع طبیعی نزدیکتر می‌شود. هرچه درجات آزادی کاهش یابد، پراکندگی بیشتر می‌شود. خود درجات آزادی نیز تابعی از اندازه نمونه انتخابی هستند. هر چه تعداد نمونه بیشتر باشد بهتر است. از آزمون t می‌توان برای تجزیه و تحلیل میانگین در پژوهش‌های تک متغیری یک گروهی و دو گروهی و چند متغیری دو گروهی استفاده کرد.

آزمون تحلیل واریانس

مواقعی که پژوهشگری بخواهد بیش از دو میانگین (بیش از دو نمونه) را مقایسه کند، باید از تحلیل واریانس استفاده کند. تحلیل واریانس یک روش فراگیرنده تر از آزمون t است و برخی پژوهشگران حتی وقتی مقایسه میانگین‌های دو نمونه مورد نظر است از این روش استفاه می‌کنند. طرح‌های متنوعی برای تحلیل واریانس وجود دارد و هر یک تحلیل آماری خاص خودش را طلب می‌کند. از جمله این طرح‌ها می‌توان به تحلیل یک عاملی واریانس (تحلیل یک طرفه) و تحلیل عاملی متقاطع واریانس ، تحلیل واریانس چند متغیری ، تحلیل کوواریانس یک متغیری و چند متغیری و …. اشاره کرد

آزمون‌های ناپارامتری آمار استنباطی

در پژوهشهایی که در سطح مقیاسهای اسمی ‌و رتبه‌ای اجرا می‌شوند، باید از آزمون‌های ناپارامتریک برای تجزیه و تحلیل اطلاعات استفاده شود. آزمون‌های زیادی برای این امر وجود دارد که براساس نوع تحلیل (نیکویی برازش، همسویی دو نمونه مستقل ، همسویی دو نمونه وابسته ، همسویی K نمونه مستقل و همسویی K نمونه وابسته) و مقیاس اندازه گیری می‌توان دست به انتخاب زد. از آزمون‌های مورد استفاده برای پژوهشها در سطح اسمی‌ می‌توان به آزمون X2 ، آزمون تغییر مک نمار ، آزمون دقیق فیشر و آزمون کاکرن اشاره کرد. از آزمونهای مورد استفاده برای پژوهشها در سطح رتبه‌ای می‌توان به دو آزمون کولموگروف - اسمیرونف ، آزمون تقارن توزیع ، آزمون علامت ، آزمون میانه ، آزمون uمان – ویتنی ، آزمون تحلیل واریانس دو عاملی فریدمن و … اشاره کرد.

منطق فازی

منطق فازی

 

مجموعه های فازی به دلیل انعطاف پذیری،شبیه سازی استدلال انسان را در قالبی که روی رایانه های رقمی قابل اجراست، میسر می سازند. به عنوان مثال، نرم افزارهای تشخیص کلام باید در برابر تفاوت تلفظ واژه ها، توسط افرادی با لهجه های مختلف، انعطاف داشته باشند. این نکته در مورد خواندن متون دستنویس نیز صحت دارد.
رایانه هایی که بر مبنای منطق دو ارزشی ساخته شده اند، در تشخیص شباهت میان اندازه های متفاوت یک حرف نیز دچار مشکل میشوند، چه رسد به شناخت آشکال متنوع حروف در نوشته های مختلف.

از سوی دیگر آنچه استدلال انسان را از روشهای رایانه ای متمایز می کند، این حقیقت است که مقادیر عددی در تصمیم گیریهای انسان، بسیار کمتر از قیدها و صفات لغوی موثرند.

منطق فازی استفاده از "متغیرهای لغوی" را در الگوریتمها و برنامه ها ممکن می سازد. مثلا برنامه نویس می تواند صفات کمی نادقیقی چون "بسیار" یا "کم" را در برنامه رایانه ای به کار برد. چنینی امکانی، بویژه در کاربردهای هوش مصنوعی و برنامه های کنترل (تنظیم و نظارت بر) فرآیندها، از اهمیت خاصی برخوردار است. در هر دو این موارد، برنامه نویسیس باید با استفاده از قواعد "سرانگشتی" انجام شود. انجام این کار با استفاده از منطق فازی آسان است. حال آنکه بیان این قواعد با روابط دقیقی ریاضی مانند معادلات دیفرانسیل (به دلیلی حجم فوق العاده زیاد آنها) کاری دشوار و گاه ناممکن است. به عنوان مثال، در صنایع پتروشیمی، فرآیندهای پیچیده شیمیایی را نمی توان با معادلات دقیقی ریاضی بیان کرد و برای آنها برنامه های دقیق نوشت.
 نخستین دستگاه فازی کنترل فرآیندهای صنعتی، در اوایل دهه 1970 میلادی، توسط دکتر ابراهیم ممدانی استاد ایرانی تبار داشنگاه کوین مری لندن ساخته شد.
پیشرفتهایی که از زمام تا کنون در زمینه خودکار سازی صنایع و دانش هوش مصنوعی انجام شده است، تا حد زیادی مرهون اندیشه نوین دکتر عسکرزاده و ابداعات دکتر ممدانی بوده است.
در سال 1980 میلادی، شرکت دانمارکی اسمیت تنظیم کننده ای خودکار برای کوره های سیمان، به بازار عرضه کرد. این تنظیم کننده با یک ریزپردازنده فازی کار می کرد. هم اکنون شمار زیادی از کوره های سیمان در اروپا از این وسیله استفاده می کنند.
کوره سیمان محفظه ای است به ارتفاع 100 متر که حرکت دورانی دارد. درون کوره، سنگ آهک و گل رس در دمایی بین 1000 تا 1400 درجه سانتیگراد تشکیل واکنش می دهند و "کلینکر" تولید می کنند. واکنشهای شیمیایی درون کوره بسیار پیچیده اند و اندازه گیری کمیت مواد داخل آن بسیار دشوار است. اما یک متصدی (اپراتور) ماهر با استفاده از سی یا چهل قاعده سر انگشتی تجربی بخوبی از عهده نظارت کوره بر می آید.
تنظیم کننده اسمیت، قواعد سر انگشتی را در قالب دستورات فازی می پذیرد. بدین ترتیب، کاربر می تواند حتی بدون آشنایی با برنامه نویسی رایانه، مشخصات کوره های مختلف را به آن بدهد. نخست متغیرهای لغوی بالا، پایین، کافی، متوسط و نظایر آنها توسط منحنی هایی تعریف میشوند. آنگاه قواعد سر انگشتی ممکن است بدین صورت باشد: در صورت بالا بودن مقدار اکسیژن، و پایین بودن مقدار اهک از میزان سوخت ورودی به قدر کافی کاسته شود. در عمل، میزان کارآیی هر قاعده با بررسی میزان برقراری شرایط مختلف آن، تعیین می شود. آنگاه میانگین متوازن نتیجه اعمال تمامی قاعده ها، عمل نهایی را مشخص می کند.

ممکن است بگویید که قواعد سرانگشتی را می توان به صورت جز به جز در برنامه های رایانه ای وارد کرد و در قبال هر حالت، عملی را برای رایانه مشخص نمود. اما مشکل اینجاست که ایجاد چنین برنمامه ای بسیار دشوارتر از برنامه مبتنی بر منطق فازی است و حافظه عظیمی را اشغال می کند. به همین دلیل، پیاده سازی آن برای کوره های متفاوت، عملا ناممکن است. نظر خواهی از استفاده کنندگان تنظیم کننده اسمیت حاکی از افزایش کیفیت محصول و صرفه جویی در سوخت مصرفی بود.

در دو دهه اخیر در انگلستان.امریکا، فراانسه و ژاپن، بسیاری از دانشمندان، منطق فازی را در حل مسائل گوناگون مهندسی به کار گرفته اند. اما جالب است بدانید که ژاپنی ها همواره در این عرصه پیشتاز بوده اند. قطار زیرزمینی "سندای" نخستین قظاری است که بهطور خودکار و بر اساس منطق فازی هدایت می شود. ایمنی، راحتی، توقف دقیقی و مصرف حداقل انرژی در طراحی انجام شده نشان می دهند که این دستگاه بهتر از انسان از عهده هدایت قطار بر می آید.

یکیاز نخستین دستگاههای فازی، دستگاه تهویه مطبوع تولید کارخانه میتسوبیشی ژاپن بود.

همان طور که می دانید، ماشینهای سنتی غیر فازی تنها در دو حالت روشن و خاموش کار می کنند. مثلا دستگاههای تهویه مطبوع وقتی هوای اتاق بسیار گرم می شود روشن و هنگامی که بسیار سرد می شود، خاموش می شوند. اما تهویه مطبوع فازی با سرد شدن تدریجی هوای اتاق، تدریجا کندتر و با گرم شدن تدریجی آن، بتدریج تندتر کار می کند. بررسیها نشان می دهند که این امر علاوه بر تامین مطبوعترین دمای ممکن، در مصرف انرژی نیز حداقل بیست در صد صرفه جویی می کند.
ماشینهای لباسشویی و ظرفشویی فازی که اخیرا متداول شده اند، آبی را که لباسها یا ظروف کثیف در آن قرار دارند آزمایش می کنند و بر حسب میزان آلودگی آن، درجه و زمان شستشو را مشخص می کنند.

کاربرد منطق فازی در حل مسائل هوش مصنوعی در حال گسترش است. البته باید توجه داشت که مسائل بسیاری دارند که حل آنها جز با انجام محاسبات دقیق ریاضی و پردازش حجم زیادی از داده ها ممکن نیست. چنین به نظر می رسد که تلفیق منطق دو ارزشی و منطق فازی، بتواند توان عملیاتی رایانه ها را به میزان چشمگیری افزایش دهد.

امید ریاضی

 مفهوم امید ریاضی ، در اصل در ارتباط با بازی‌های شانسی بوجود آمده است و در ساده‌ترین صورتش حاصل‌ضرب مبلغی است که بازیکن امکان یبرد آن را در احتمال آنکه برنده شود. در واقع امید ریاضی یک میانگین است. یا همان مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی می‌باشد.

تعریف

اگر X یک متغیر تصادفی گسسته و مقدار توزیع احتمال آن به ازای x باشد، مقدار مورد انتظار X برابر است با

Latex Error:

{E(X)= \sum_{x} x.f(x)}

بهمین ترتیب اگر X یک متغیر تصادفی پیوسته و مقدار چگالی احتمال آن به ازای x باشد، مقدار مورد انتظار X برابر است با:

Latex Error:

{E(X)=\int_{-\infty}

{\infty} x.f(x)\, dx}

در بسیاری از مسائل آمار ، نه تنها مقدار مورد انتشار یک متغیر تصادفی X ، بلکه مقادیر مورد انتظار متغیرهای تصادفی وابسته به X نیز مورد توجه‌اند. مثلا ، ممکن است متغیر تصادفی Y مورد توجه ما باشد که مقادیرش با مقادیر X از طریق معادله

Latex Error:

{y=g(x)}

در ارتباط‌اند. برای مثال ممکن است باشد. بنابراین حرف X قرار گرفته داخل پرانتز در تعریف

Latex Error:

{E(X)}

ممکن است برحسب نیاز ما متفاوت باشد. تعیین امیدهای ریاضی را اغلب می‌توان با استفاده از قضایای زیر ساده کرد. این قضایا ما را قادر می‌سازد که مقادیر امید را از روی امیدهای دیگری که معلوم اند و یا براحتی قابل محاسبه‌اند حساب کرد.
قضیه
اگر b , a مقادیر ثابتی باشند آنگاه:

Latex Error:

{E(aX+b)=aE(X)+b}

قضیه
اگر

Latex Error:

{c_n , ... , c_2 , c_1}

مقادیری ثابت باشند آنگاه:

Latex Error:

{E\sum_{i=1}^n c_i g_i(x) = \sum_{i=1}
n c_i Eg_i(x)}

امید ریاضی و گشتاورها

اصطلاح "گشتاورها" مربوط به علم فیزیک است- اگر کمیت‌های در حالت گسسته جرم‌هایی نقطه‌ای باشند که بر نقاط محور x واقع در فواصل x از مبدا ، بطور قائم عمل کنند

Latex Error:

{\mu'_1}

مختص x مرکز ثقل است یعنی اولین گشتاور تقسیم بر

Latex Error:

{\sum_{x} f(x)=1}

و

Latex Error:

{\mu'_2}

گشتاور اینرسی است. این مطلب همچنین توضیح می‌دهد که چرا گشتاورهای

Latex Error:

{\mu'_r}

، گشتاورهای حول مبدا نام دارند- در قیاس با علم فیزیک ، طول بازوی دوم در این حالت فاصله تا مبدا است. این قیاس در حالت پیوسته نیز بکار می‌آید که در آن

Latex Error:

{\mu'_1 , \mu'_2}

باید مختص x مرکز ثقل و گشتاور اینرسی یک میله با چگالی متغیر باشد.

تعریف

rامین گشتاور حول مبدا متغیر تصادفی X ، که با

Latex Error:

{\mu'_r}

نشان داده می‌شود، امید ریاضی

Latex Error:

{X

r}

است. بص.رت نمادی برای r=0,1,2 , ... ،
وقتی X ، گسسته است:

Latex Error:

{\mu'_r= E(X

r)= \sum x

r.f(x)}

وقتی X پیوسته است:

Latex Error:

{\mu'_r=E(X

r)=\int_{-\infty}

{\infty} x

r.f(x)\, dx}

توجه می‌کنیم که در تعریف فوق

Latex Error:

{\mu'_1}

، میانگین توزیع X ، یا صرفا میانگین X نامیده می‌شود و آن را با نشان می‌دهیم بعبارت دیگر همان امید X می‌باشد.

گشتاور rامین حول میانگین

این نوع گشتاورها در آمار اهمیت فراوانی دارند. زیرا در توصیف شکل توزیع متغیر تصادفی ، یعنی شکل نمودار توزیع احتمال یا چگالی بکار می‌روند.

تعریف

گشتاور rام حول میانگین متغیر تصادفی X ، که آن را با نشان می‌دهیم مقدار امید

Latex Error:

{(X-\mu)

r}

است که در حالت گسسته توسط زیگما این امید برآورد می‌شود ولی در حالت پیوسته توسط انتگرال در بازه

Latex Error:

{(-\infty , \infty)}

.
دومین گشتاور حول میانگین در آمار اهمیت خاصی دارد زیرا پراکندگی توزیع متغیر تصادفی است؛ لذا به آن نماد خاصی و نام خاصی را داده‌اند بنام واریانس.

تابع مولد گشتاورها

به اینکه گشتاورهای بیشتر توزیع‌ها را می‌توان توسط محاسبه انتگرال‌ها یا مجموع‌های لازم معین کرد ولی شیوه دیگر استفاده از امید ریاضی به ترتیب زیر است:

Latex Error:

{\mu_x(t)=E(e

tx)}

از جمله کاربردهای توابع مولد گشتاورها که توسط امید ریاضی محاسبه می‌شوند یافتن rامین گشتاور حول مبدا است. در واقع rامین مشتق تابع مولد گشتاور روی t زمانی که t مساوی صفر باشد

Latex Error:

{\mu'_r}

را به ما می‌دهد.